ما هو قوانين حساب المثلثات

تنقسم قوانين حساب المثلثات إلى نوعين رئيسيين:

1. قوانين المثلث القائم الزاوية:

• نظرية فيثاغورس: تنص على أن مربع الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

الصيغة:

وتر² = ضلع مجاور² + ضلع مقابل²

حيث:

• وتر: هو أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية، وهو يقابل الزاوية القائمة (90 درجة).
• ضلع مجاور: هو الضلع المقابل للزاوية الحادة التي نريد حسابها.
• ضلع مقابل: هو الضلع المقابل للزاوية الحادة الأخرى في المثلث القائم الزاوية.

مثال:

في مثلث قائم الزاوية، إذا كان طول الضلع المجاور 3 سم وطول الضلع المقابل 4 سم، فما هو طول الوتر؟

وتر² = ضلع مجاور² + ضلع مقابل² = 3 سم² + 4 سم² = 9 سم² + 16 سم² = 25 سم²

لذلك، طول الوتر هو 5 سم (الجذر التربيعي لـ 25 سم²).

• نسب الجيب، جيب التمام، الظل، وظل التمام:

تُستخدم هذه النسب لحساب أضلاع و زوايا المثلث القائم الزاوية، اعتمادًا على المعطيات المتاحة.

الصيغ:

• جيب (زاوية): ضلع مقابل / وتر
• جيب تمام (زاوية): ضلع مجاور / وتر
• ظل (زاوية): ضلع مقابل / ضلع مجاور
• ظل تمام (زاوية): ضلع مجاور / ضلع مقابل

مثال:

في مثلث قائم الزاوية، إذا كان طول الوتر 5 سم وطول الضلع المقابل 4 سم، فما هو جيب الزاوية المقابلة؟

جيب (الزاوية المقابلة) = ضلع مقابل / وتر = 4 سم / 5 سم = 0.8

2. قوانين المثلث غير القائم الزاوية:

• قانون الجيب:

ينص على أن نسبة طول أي ضلع في مثلث غير قائم الزاوية إلى جيب الزاوية المقابلة له تساوي ثابت يساوي 2R/a، حيث:

• R: هو نصف قطر الدائرة المرسومة حول المثلث.
• a: هو محيط المثلث.

الصيغة:

a / جيب (زاوية) = 2R

حيث:

• a: هو طول الضلع الذي نريد حسابه.
• جيب (زاوية): هو جيب الزاوية المقابلة للضلع (a).

قانون جيب التمام:

ينص على أن نسبة طول أي ضلع في مثلث غير قائم الزاوية إلى جيب تمام الزاوية المقابلة له تساوي ثابت يساوي a/2R، حيث:

• R: هو نصف قطر الدائرة المرسومة حول المثلث.
• a: هو محيط المثلث.

الصيغة:

a / جيب تمام (زاوية) = 2R

حيث:

• a: هو طول الضلع الذي نريد حسابه.
• جيب تمام (زاوية): هو جيب تمام الزاوية المقابلة للضلع (a).

قانون الظل:

ينص على أن نسبة طول أي ضلع في مثلث غير قائم الزاوية إلى ظل الزاوية المقابلة له تساوي ثابت يساوي a / 2tan(ز)، حيث:

• a: هو محيط المثلث.
• tan(ز): هو ظل الزاوية المقابلة للضلع (a).

الصيغة:

a / ظل (زاوية) = 2tan(ز)

حيث:

• a: هو طول الضلع الذي نريد حسابه.
• ظل (زاوية): هو ظل الزاوية المقابلة للضلع (a).

قانون ظل تمام:

ينص على أن نسبة طول أي ضلع في مثلث غير قائم الزاوية إلى ظل تمام الزاوية المقابلة له تساوي ثابت يساوي a / cosec(ز)، حيث