ما هو قانون التباين

في الإحصاء ونظرية الاحتمالات، يُعدّ تباين متغير عشوائي أو توزيع احتمالي أو عينة مقياسًا للتشتت الإحصائي للقيم الممكنة حول القيمة المتوقعة.

يمكن تعريف التباين رياضيًا على النحو التالي:

• لتباين متغير عشوائي X:

σ^2 = E[(X - μ)^2]

حيث:

σ^2 هو تباين المتغير العشوائي X.

E هي رمز التوقع الرياضي.

μ هي القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي X.

(X - μ) هو انحراف قيمة المتغير العشوائي X عن القيمة المتوقعة μ.

لتباين عينة من حجم n:

s^2 = Σ[(x_i - x̄)^2] / (n - 1)

حيث:

• s^2 هو تباين العينة.
• Σ هو رمز التجميع.
• x_i هي قيمة i في العينة.
• x̄ هو متوسط العينة.
• n هو حجم العينة.

خصائص التباين:

• التباين دائمًا غير سالب: σ^2 ≥ 0 , s^2 ≥ 0
• إذا كان التباين يساوي صفرًا، فهذا يعني أن جميع القيم متساوية.
• كلما زاد التباين، زاد تشتت البيانات حول القيمة المتوقعة.
• وحدة قياس التباين هي مربع وحدة قياس المتغير العشوائي.

أهمية التباين:

• يُستخدم التباين لقياس مدى انتشار البيانات حول القيمة المتوقعة.
• يُستخدم التباين في العديد من الاختبارات الإحصائية، مثل اختبار t واختبار ANOVA.
• يُستخدم التباين في تقدير دقة التقديرات الإحصائية.

أمثلة على حساب التباين:

1. حساب تباين متغير عشوائي موحد:

• متغير عشوائي X موحد على الفترة [a, b].
• القيمة المتوقعة μ = (a + b) / 2.
• التباين σ^2 = (b - a)^2 / 12.

2. حساب تباين عينة من البيانات:

• نأخذ عينة من 5 قيم: {2, 4, 4, 4, 5}.
• متوسط العينة x̄ = (2 + 4 + 4 + 4 + 5) / 5 = 4.
• التباين s^2 = [(2 - 4)^2 + (4 - 4)^2 + (4 - 4)^2 + (4 - 4)^2 + (5 - 4)^2] / (5 - 1) = 1 / 4.