ما هي الأعداد المركبة

تُعدّ الأعداد المركبة توسيعًا ثوريًا لنظام الأعداد الحقيقية، حيث تُدخل مفهومًا جديدًا يُعرف باسم "الأعداد التخيلية".

ما هي الأعداد المركبة؟

تُعرّف الأعداد المركبة على أنها أعداد من الصورة a + bi، حيث:

• a هو عدد حقيقي.
• b هو عدد حقيقي يُعرف باسم "المُعامل التخيلي".
• i هو وحدة تخيلية تُعرف بأنها الجذر التربيعي للعدد السالب واحد، أي i = √(-1).

أمثلة على الأعداد المركبة:

• 3 + 2i: هنا a = 3 و b = 2،
• -4 - 5i: هنا a = -4 و b = -5،
• 1.5i: هنا a = 0 و b = 1.5.

المُثلث العقدي:

تُمثّل الأعداد المركبة بيانيًا باستخدام المُثلث العقدي.

• يُمثّل المحور الأفقي (السيني) للرسم الأعداد الحقيقية.
• يُمثّل المحور العمودي (الصادي) للرسم الأعداد التخيلية.
• يُمكن تمثيل أي عدد مركب بنقطة على هذا المُثلث، حيث إحداثيها هما a و b.

خصائص الأعداد المركبة:

• المُعادل التخيلي: لكل عدد مركب a + bi، يوجد مُعادل تخيلي هو a - bi.
• الإقتران: يُمكن كتابة مُعادل أي عدد مركب a + bi على الصورة a - bi، ويُرمز له بـ ā.
• الجمع والطرح: تتم عمليات الجمع والطرح على الأعداد المركبة بجمع/طرح أجزائها الحقيقية والتخيلية بشكل مُنفصل.
• الضړب: لضړب عددين مركبين، نستخدم قاعدة الضړب التوزيعي ونُضرب كل من الأجزاء الحقيقية والتخيلية بشكل مُنفصل.
• القسمة: تتم عملية القسمة على الأعداد المركبة بقسمة كلا من البسط والمقام في العدد المُقترن للمقام.

تطبيقات الأعداد المركبة:

تُستخدم الأعداد المركبة في مجالات شتّى، تشمل:

• الهندسة الكهربائية: تحليل الدوائر الكهربائية، وتصميم أنظمة الاتصالات.
• الميكانيكا: حلّ معادلات الحركة المُعقدة، وتحليل الاهتزازات.
• الفيزياء: وصف الظواهر الموجية، مثل الضوء والصوت.
• الرياضيات: حلّ المعادلات الجبرية المُعقدة، ودراسة الفراكتلات.
• علم الحاسوب: تطوير خوارزميات معالجة الصور، والرسومات ثلاثية الأبعاد.