ما هو قانون الجيب في الرياضيات

مقدمة:

تُعدّ المثلثات من أهمّ الأشكال الهندسية في الرياضيات، حيث تُستخدم في العديد من التطبيقات، مثل الهندسة والبناء والعلوم.

في هذه الرحلة، سنستكشف قانون الجيب، وهو أداة قوية لحساب أطوال وجوانب المثلثات، ونشرح كيفية تطبيقه لحلّ المسائل.

1. تعريف قانون الجيب:

• تعريف قانون الجيب: هو قانون رياضي يُستخدم لحساب طول أحد أضلاع المثلث إذا كانت معروفة قاعدتان وزاوية مقابلة لإحدى القاعدتين.
• صيغة قانون الجيب: (a / sin(A)) = (b / sin(B)) = (c / sin(C))
• حيث:
  • a: طول الضلع المجهول.
  • b: طول أحد الضلعين المعروفين.
  • c: طول الضلع الآخر المعروف.
  • A: الزاوية المقابلة للضلع المجهول.
  • B: الزاوية المقابلة للضلع b.
  • C: الزاوية المقابلة للضلع c.

2. شروط استخدام قانون الجيب:

• يجب أن يكون المثلث غير منفرج، أي لا تزيد أي زاوية فيه عن 90 درجة.
• يجب أن تكون معروفة قاعدتان وزاوية مقابلة لإحدى القاعدتين.

3. خطوات حلّ المسائل باستخدام قانون الجيب:

• الخطوات الأساسية لحلّ المسائل باستخدام قانون الجيب:
  1. قراءة وفهم المسألة: تحديد المعلومات المعطاة والمطلوبة.
  2. تأكد من أن المثلث غير منفرج: تحقق من أن جميع الزوايا في المثلث أقل من 90 درجة.
  3. حدد القاعدتين والزاوية المقابلة: حدد القاعدتين المعروفتين والزاوية المقابلة للضلع المجهول.
  4. اكتب معادلة قانون الجيب: اكتب معادلة قانون الجيب باستخدام القيم المعروفة.
  5. حلّ المعادلة: حلّ المعادلة لحساب طول الضلع المجهول.
  6. التحقق من الحلّ: التأكد من أن الحلّ منطقي ومعقول.
• أمثلة على مسائل قانون الجيب:
  • إذا كان طول أحد أضلاع المثلث 6 سم، وطول الضلع الآخر 8 سم، وزاوية مقابلة للضلع الأول 50 درجة، فما هو طول الضلع الثالث؟
    • الحلّ:
      • تأكد من أن المثلث غير منفرج: 50 درجة < 90 درجة.
      • حدد القاعدتين والزاوية المقابلة:
        • القاعدة الأولى: 6 سم.
        • القاعدة الثانية: 8 سم.
        • الزاوية المقابلة: 50 درجة.
      • اكتب معادلة قانون الجيب: (6 سم / sin(50 درجة)) = (a / sin(C))
      • حلّ المعادلة: a = (6 سم × sin(C)) / sin(50 درجة)
      • التحقق من الحلّ: باستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن a ≈ 9.26 سم.
  • إذا كان طول أحد أضلاع المثلث 10 سم، وطول الضلع الآخر 12 سم، وزاوية مقابلة للضلع الثالث 60 درجة، فما هي قيمة الزاوية المقابلة للضلع الأول؟
    • الحلّ:
      • تأكد من أن المثلث غير منفرج: 60 درجة < 90 درجة.
      • حدد القاعدتين والزاوية المقابلة:
        • القاعدة الأولى: 10 سم.
        • القاعدة الثانية: 12 سم.
        • الزاوية المقابلة: 60 درجة.
      • اكتب معادلة قانون الجيب: (a / sin(A)) = (12 سم / sin(60 درجة))
      • حلّ المعادلة: