ما هي خصائص الأعداد المركبة

تعريف الأعداد المركبة:

هي أعداد رياضية تُكتب على شكل a + bi، حيث:

• a: هو جزء حقيقي.
• b: هو جزء تخيلي.
• i: هو وحدة وهمية تُعرف بأنها الجذر التربيعي لـ -1، أي i^2 = -1.

أمثلة على الأعداد المركبة:

• 3 + 2i: هنا a = 3 و b = 2.
• -4 - 5i: هنا a = -4 و b = -5.
• 2i: هنا a = 0 و b = 2.

خصائص الأعداد المركبة:

• الإغلاق الجمع: مجموع عددين مركبين هو عدد مركب.
• التبادلية: ترتيب الجمع لا يؤثر على النتيجة.
• التجميعية: تجميع الجمع لا يؤثر على النتيجة.
• الإغلاق الضړب: حاصل ضړب عددين مركبين هو عدد مركب.
• التبادلية: ترتيب الضړب لا يؤثر على النتيجة.
• التجميعية: تجميع الضړب لا يؤثر على النتيجة.
• التوزيعية: قانون التوزيع ينطبق على الجمع والضړب.
• وجود معكوس الجمع: لكل عدد مركب معكوس جمع.
• وجود معكوس الضړب: لكل عدد مركب غير صفر معكوس ضړب.
• خاصية المرافق: مرافق العدد المركب a + bi هو a - bi.
• خاصية المرافق للضړب: حاصل ضړب عدد مركب ومرافقه يساوي مربع الجزء الحقيقي.
• خاصية المرافق للجمع: مرافق مجموع عددين مركبين هو مجموع مرافقي هذين العددين.
• خاصية المرافق للقسمة: حاصل قسمة عدد مركب على مرافقه يساوي قسمة الجزء الحقيقي على مربع الجزء الحقيقي.

أهمية خصائص الأعداد المركبة:

تُعدّ خصائص الأعداد المركبة أساسًا لفهمها واستخدامها في مختلف التطبيقات.

وتشمل بعض هذه التطبيقات:

• حل المعادلات من الدرجة الثانية والتالية.
• التحليل الرياضي للموجات الكهرومغناطيسية.
• نظم التحكم.
• معالجة الإشارات.
• الرسوميات الحاسوبية.
• نظرية الأعداد.
• الفيزياء النظرية.