كل ما تريد معرفته عن قانون جيب التمام

يُعدّ قانون جيب التمام من القوانين الأساسية في علم المثلثات، ويستخدم لحساب طول الضلع أو قياس الزاوية في المثلث غير القائم الزاوية.

ينص قانون جيب التمام على أن:

في أي مثلث غير قائم الزاوية، فإن مربع طول الضلع المقابل للزاوية يساوي مجموع مربع طولي الضلعين الآخرين مطروحًا منهما ضعف ناتج ضربهما في جيب تمام تلك الزاوية.

بمعنى آخر، إذا كان في مثلث غير قائم الزاوية:

• a هو طول الضلع المقابل للزاوية C
• b هو طول الضلع المقابل للزاوية B
• c هو طول الضلع المقابل للزاوية A
• C هي قياس الزاوية A

فإن قانون جيب التمام ينص على أن:

a² = b² + c² - 2bc * cos(C)

أو يمكن إعادة كتابته على النحو التالي:

cos(C) = (b² + c² - a²) / 2bc

حيث:

• cos(C) هو جيب تمام الزاوية C

تطبيقات قانون جيب التمام:

• يمكن استخدام قانون جيب التمام لحساب طول الضلع الثالث في مثلث غير قائم الزاوية إذا كانت أطوال الضلعين الآخرين وقياس إحدى الزوايا معروفة.
• يمكن استخدام قانون جيب التمام لحساب قياس إحدى الزوايا في مثلث غير قائم الزاوية إذا كانت أطوال جميع الأضلاع معروفة.
• يُستخدم قانون جيب التمام في العديد من التطبيقات الهندسية والفيزيائية، مثل حساب مساحة المثلث، وحساب ارتفاع برج أو مبنى، وحساب المسافة بين نقطتين.

أمثلة على استخدام قانون جيب التمام:

1. حساب طول الضلع الثالث في مثلث:

معطيات:

• a = 10 سم
• b = 12 سم
• C = 45 درجة

المطلوب:

• حساب طول الضلع c

الحل:

استخدام قانون جيب التمام:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)c² = 10² + 12² - 2 * 10 * 12 * cos(45)c² = 100 + 144 - 240c² = 4c = √4 = 2 سم

وبالتالي، فإن طول الضلع الثالث c هو 2 سم.

2. حساب قياس إحدى الزوايا في مثلث:

معطيات:

• a = 8 سم
• b = 6 سم
• c = 10 سم

المطلوب:

• حساب قياس الزاوية C

الحل:

استخدام قانون جيب التمام:

cos(C) = (b² + c² - a²) / 2bccos(C) = (6² + 10² - 8²) / 2 * 6 * 10cos(C) = 164 / 120cos(C) ≈ 1.3667

باستخدام آلة حاسبة، يمكننا إيجاد قيمة الزاوية C التي تجعل قيمة جيب تمامها تساوي 1.3667.

C ≈ 30.5 درجة

وبالتالي، فإن قياس الزاوية C هو 30.5 درجة تقريبًا.