ما هو التكامل المحدود في الرياضيات

مقدمة:

التكامل المحدد هو مفهوم رياضي أساسي يُستخدم لحساب مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى دالة في نطاق محدد.

ويُعدّ التكامل المحدد أداة قوية لحل العديد من المشكلات في مجالات مختلفة مثل الفيزياء والهندسة والاقتصاد.

مفهوم أساسي:

• تكامل دالة: يمثل تكامل دالة معينة مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى تلك الدالة فوق محور x.
• التكامل المحدد: يمثل تكامل دالة في نطاق محدد.

الصيغة:

∫(f(x)) dx [a, b] = F(b) - F(a)

• حيث:
  • ∫ هي رمز التكامل.
  • f(x) هي الدالة التي نريد تكاملها.
  • [a, b] هو النطاق المحدد، حيث a و b هما قيمتان ثابتتان على محور x.
  • F(x) هي دالة البدائية للدالة f(x).

مراحل حساب التكامل المحدد:

1. إيجاد دالة البدائية:
   • دالة البدائية هي دالة مشتقة تساوي الدالة الأصلية.
   • هناك قواعد محددة لإيجاد دالة البدائية لكل نوع من الدوال.
2. تعويض حدود النطاق:
   • بعد إيجاد دالة البدائية، نقوم بتعويض قيمتي النطاق a و b في دالة البدائية.
3. حساب الفرق:
   • نطرح قيمة دالة البدائية عند b من قيمتها عند a.
   • الناتج هو مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى الدالة في النطاق المحدد.

أمثلة على التكامل المحدد:

• حساب مساحة مستطيل:
  • دالة المستطيل هي f(x) = k، حيث k هو ارتفاع المستطيل.
  • دالة البدائية هي F(x) = kx.
  • مساحة المستطيل في النطاق [a, b] هي ∫(k) dx [a, b] = kb - ka.
• حساب مساحة المثلث:
  • دالة المثلث هي f(x) = mx + c، حيث m هو ميل المثلث و c هو ثابت.
  • دالة البدائية هي F(x) = (mx^2)/2 + cx.
  • مساحة المثلث في النطاق [a, b] هي ∫(mx + c) dx [a, b] = (mb^2)/2 + cb - ((ma^2)/2 + ca).

تطبيقات التكامل المحدد:

• حساب المساحات:
  • يمكن استخدام التكامل المحدد لحساب مساحات الأشكال الهندسية المختلفة، مثل المستطيلات والمثلثات والدوائر.
• حساب الأحجام:
  • يمكن استخدام التكامل المحدد لحساب أحجام الأشكال ثلاثية الأبعاد، مثل الأسطوانات والأقماع والكرات.
• حساب السرعة والتسارع:
  • في الفيزياء، يمكن استخدام التكامل المحدد لحساب السرعة والتسارع من خلال دالة الموقع.
• حساب العمل:
  • في الفيزياء، يمكن استخدام التكامل المحدد لحساب العمل المبذول بواسطة قوة متغيرة.