ما هو القانون العام والمميز لحل المعادلات التربيعية
المقدمة:
المعادلة التربيعية هي معادلة من الدرجة الثانية تأخذ الشكل العام:
ax^2 + bx + c = 0
حيث:
- a، b، c هي معاملات حقيقية، و a ≠ 0.
- x هو المتغير المجهول.
طرق حل المعادلات التربيعية:
هناك ثلاث طرق رئيسية لحل المعادلات التربيعية:
1. التحليل إلى العوامل:
- تُستخدم هذه الطريقة عندما يكون من السهل تحليل التعبير ax^2 + bx + c إلى حاصل ضړب عاملين من الدرجة الأولى.
- في هذه الحالة، تكون حلول المعادلة هي قيم x التي تجعل أحد العاملين يساوي صفرًا.
2. طريقة الاستكمال إلى مربع:
- تُستخدم هذه الطريقة عندما لا يكون من السهل تحليل التعبير ax^2 + bx + c إلى حاصل ضړب عاملين من الدرجة الأولى.
- تقوم هذه الطريقة بإعادة كتابة التعبير ax^2 + bx + c في شكل مربع تام، ثم يمكن حل المعادلة بسهولة.
3. القانون العام والمميز:
- يُعد القانون العام والمميز الطريقة الأكثر شيوعًا لحل المعادلات التربيعية.
- يُمكن استخدام هذه الطريقة لحل أي معادلة تربيعية، بغض النظر عن إمكانية تحليلها إلى العوامل أو إعادة كتابتها في شكل مربع تام.
القانون العام:
يُعطى القانون العام لحل المعادلة التربيعية بالصيغة التالية:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
حيث:
- a، b، c هي معاملات المعادلة التربيعية.
- √ هي الجذر التربيعي.
المميز:
يُستخدم المميز لتحديد عدد حلول المعادلة التربيعية.
يُعطى المميز بالصيغة التالية:
Δ = b^2 - 4ac
إذا كان Δ > 0، فإن للمعادلة حلّين حقيقيين مختلفين.
إذا كان Δ = 0، فإن للمعادلة حلًّا حقيقيًا واحدًا (متكرّر).
إذا كان Δ < 0، فلا توجد حلول حقيقية للمعادلة.
أمثلة:
1. حل المعادلة التربيعية 2x^2 + 5x - 3 = 0 باستخدام القانون العام:
a = 2، b = 5، c = -3 x = (-5 ± √(5^2 - 4 * 2 * -3)) / 2 * 2 x = (-5 ± √49) / 4 x = (-5 ± 7) / 4 x = 1 أو x = -3/2
2. حل المعادلة التربيعية x^2 + 4x + 4 = 0 باستخدام المميز:
a = 1، b = 4، c = 4 Δ = 4^2 - 4 * 1 * 4 = 0
بما أن Δ = 0، فإن للمعادلة حلًّا حقيقيًا واحدًا (متكرّر).
لحساب قيمة هذا الحل، يمكننا استخدام القانون العام:
x = (-4 ± √(4^2 - 4 * 1 * 4)) / 2 * 1 x = (-4 ± 0) / 2 x = -2
